Linéarité de l'espérance

Propriété

Soit  \(X\)  et  \(Y\)  deux variables aléatoires réelles définies sur un même univers  \(\Omega\) . 
Soit  \(a\)  et  \(b\)  deux réels.

On a alors les propriétés suivantes.

• \(E(aX+b)=a\times E(x)+b\)
  
• \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
  

Exemple 1

On considère le jeu suivant : on lance un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6, et on remporte deux fois la somme inscrite sur le dé.
La participation à ce jeu est fixée à 8 euros.
On considère la variable aléatoire  \(X\) qui donne le résultat du lancer et  \(Y\) le gain du joueur à l'issue de ce jeu, ce gain pouvant être positif ou négatif.
On a alors  \(Y=2X-8\) .
Par ailleurs,  \(E(X)=\dfrac{1}{6}\times(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}\) .
Ainsi,  \(E(Y)=2\times E(X)-8=2 \times \dfrac{7}{2}-8=-1\) .
En moyenne, on perd 1 euro en jouant à ce jeu.

Exemple 2

On lance deux fois de suite un dé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note  \(X\)  le résultat du premier lancer et  \(Y\)  le résultat du second lancer.
On a alors  \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{2}=7\) .