Linéarité de l'espérance

Propriété

Soit  $X$  et  $Y$  deux variables aléatoires réelles définies sur un même univers  $\mathrm{\Omega }$ . 
Soit  $a$  et  $b$  deux réels.

On a alors les propriétés suivantes.

• $E(aX+b)=a\times E(x)+b$
  
• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
  

Exemple 1

On considère le jeu suivant : on lance un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6, et on remporte deux fois la somme inscrite sur le dé.
La participation à ce jeu est fixée à 8 euros.
On considère la variable aléatoire  $X$ qui donne le résultat du lancer et  $Y$ le gain du joueur à l'issue de ce jeu, ce gain pouvant être positif ou négatif.
On a alors  $Y=2X-8$ .
Par ailleurs,  $E(X)={\displaystyle \frac{1}{6}}\times (1+2+3+4+5+6)={\displaystyle \frac{21}{6}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$ .
Ainsi,  $E(Y)=2\times E(X)-8=2\times {\displaystyle \frac{7}{2}}-8=-1$ .
En moyenne, on perd 1 euro en jouant à ce jeu.

Exemple 2

On lance deux fois de suite un dé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note  $X$  le résultat du premier lancer et  $Y$  le résultat du second lancer.
On a alors  $E(X+Y)=E(X)+E(Y)={\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{2}}=7$ .